La Escuela Pitagórica y el origen de su crisis

[joaquimvillalta]

El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables.

La grandeza sublime del Teorema de Pitágoras y la mágica belleza del Pentagrama místico pitagórico fueron dos caballos de Troya para la Geometría griega, porque llevaban en su interior el germen de la profunda crisis de la escuela pitagórica donde aparecieron. Los Pitagóricos, que, como filósofos presocráticos, habían considerado como núcleo dogmático de su Filosofía que «los números son la esencia del universo», encuentran que las consecuencias de su Teorema atentan contra los fundamentos de su doctrina, que les había llevado a establecer un paralelismo entre el concepto numérico y la representación geométrica. En efecto, el cuadrado que es una de las figuras geométricas más simples, proporciona un terrible ente geométrico, la diagonal, que no es conmensurable con el lado. Lo mismo sucede entre la diagonal y el lado del pentágono. La creencia de que los números podían medirlo todo era una ilusión. Así quedaba eliminada de la Geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud. Se había descubierto la magnitud inconmensurable, lo irracional –no expresable mediante razones–, «el alogon», que provocaría una crisis sin precedentes en la Historia de la Matemática. La sacudida que la aparición del nuevo ente provocó en la Matemática griega puede calibrarse por la leyenda apocalíptica que relata un viejo escolio (atribuido a Proclo) del Libro X de Los Elementos de Euclides:

«Es fama que el primero en dar al dominio público la teoría de los irracionales, perecería en un naufragio, y ello porque lo inexpresable e inimaginable debería siempre haber permanecido oculto. En consecuencia, el culpable, que fortuitamente tocó y reveló este aspecto de las cosas vivientes, fue trasladado a su lugar de origen, donde es flagelado a perpetuidad por las olas.»

En el mismo tono apocalíptico escribe Jámblico (Vida Pitagórica. XXXIV, 246–247, p.141):

«Se dice que primero que reveló la naturaleza de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad a los indignos de participar de tales conocimientos fue aborrecido [por la comunidad pitagórica] hasta el punto de que no sólo lo expulsaron de la vida y de la vivienda en común, sino que incluso le erigieron una tumba como si él, que había sido una vez compañero, hubiese abandonado la vida entre los hombres. [...] Otros afirman que la divinidad se enojó contra quien divulgó la doctrina de Pitágoras, pereciendo como un impío en el mar por sacrílego al haber revelado la doctrina de los números irracionales y la inconmensurabilidad.»

Las circunstancias concretas del primer reconocimiento de inconmensurables son tan desconocidas como la fecha en que tuvo lugar. Aunque Proclo –en sus Comentarios–, lo atribuye al propio Pitágoras cuando escribe que este filósofo «descubrióla dificultad de los números irracionales» suele admitirse que fue hacia el 480 a.C. por Hipasos de Metaponto. El descubrimiento pudo tener lugar al intentar reiteradamente de forma empírica encontrar una unidad que permitiera medir, de manera exacta, simultáneamente la diagonal y el lado del cuadrado o bien la diagonal y el lado de un pentágono regular.

El descubrimiento de la inconmensurabilidad marca un hito en la Historia de la Geometría, porque no es algo empírico, sino puramente teórico. Con el descubrimiento de los inconmensurables quedaban afectadas y debían ser reconstruidas todas las pruebas pitagóricas de los teoremas en los que haya que comparar razones de magnitudes geométricas. Se explica, pues, el consiguiente secretismo de los pitagóricos sobre la cuestión irracional y la leyenda del castigo por su divulgación. Leyendas y conjeturas aparte, se comprende que el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables produjera un escándalo lógico en todo el ámbito pitagórico, ya que exigía una revisión a fondo de los fundamentos de su Matemática y su Filosofía, pero fue no sólo la cuna de la Geometría griega sino uno de los componentes esenciales del milagro griego en Matemáticas.

La tempestad provocada por el descubrimiento pitagórico de los irracionales precipitó la primera crisis de fundamentos en la Historia de la Matemática, propiciando «el horror al infinito», que caracteriza casi toda la Matemática griega posterior. Como reacción al lenguaje ingenuo de los pitagóricos, mezcla de brillantes ideas matemáticas, actitudes místicas y aforismos religiosos, se impondrá el severo rigor de Los Elementos de Euclides. Pero el desarrollo de La Geometría al margen de la Aritmética, la ausencia de un Álgebra simbólica y la conversión de toda la Matemática en Geometría, con un estilo sintético de exposición que oculta la vía heurística del descubrimiento, fue el efecto más inmediato.

[Aurora]

Siracusa


Nuestro hermano Joaquim nos ha hecho partícipes de los descubrimientos matemáticos gestados en la Escuela Pitagórica.
Sorprende la determinación de estos humanos por descubrir las leyes del cosmos del que formamos parte, pero tanto o más estremece la Fraternidad que practicaban, la inmensa confianza que depositaban unos en otros y el amor que se profesaban.

Les dejo con esta historia real que fue muy famosa en el mundo grecorromano y probablemente conocen. Creo que conviene recordarla y tenerla en mente. La protagonizaron dos pitagóricos, Damon y Fintias.
Mucho tenemos que aprender de ellos.
La historia, tal como la relata wikipedia es esta: http://es.wikipedia.org/wiki/Damon_y_Fintias

Réplica del barco de Jasón y los argonautas
(imagen de http://www.futuropasado.com/?p=421 )

Damon y Fintias fueron dos filósofos pitagóricos. Vivieron en el siglo IV en Sicilia, y la amistad mutua que tenían pasó a la Historia.
La tradición cuenta que Fintias y Damon ambos amantes de la paz y grandes amigos. Llegaron a Siracusa de visita y se encontraron con el duro régimen de Dionisio I, que fue criticado por Fintias, Dionisio al saber esto lo mando arrestar y de inmediato lo condeno a muerte.

Fintias suplico al rey que lo dejase volver a su pueblo para despedirse de su familia, sin embargo el rey estaba dudoso de si Fintias volvería, a lo que sugirió que si un rehén se quedaba en su lugar este tendría el permiso deseado, Damón se presentó voluntariamente como rehén mientras Fintias iba a su hogar a para despedirse de su familia y amigos y a saldar sus deudas pendientes.

Dionisio acepto y fijo un plazo para que Fintias volviera o de lo contrario Damon seria muerto sin ningún miramiento, el plazo probablemente fue de entre dos a cuatro semanas.
Damon fue encerrado y Fintias volvió pronto a su hogar, sin embargo al volver el barco en el que viajaba fue asaltado por piratas, a pesar de las suplicas de Fintias fue lanzado por la borda y tuvo que nadar hasta la orilla Siciliana en donde tendría que emprender un viaje a pie hasta Siracusa.

Como éste se retrasó, Damón estuvo a punto se ser ejecutado, sin embargo se mostraba entusiasta en todo momento en que su amigo volvería a tiempo para cumplir su palabra, en el último momento Fintias llegó; exhausto, con la ropa desgarrada y los pies sangrando por el gran esfuerzo de correr descalzo, al llegar exclamo "¡Ya he llegado, liberen a Damon y matenme a mi!" ofreciéndose al vedugo, sin embargo sorprendido por la gran amistad y lealtad que los dos hombres mostraron ambos fueron perdonados por Dionisio, a quienes pidió disculpas y también que fuese incluido en su amistad, otorgándoles cargos como consejeros para tenerlos cerca de si.

Esta historia ha sido recogida por diferentes escritores, como Friedrich von Schiller O Richard Edwards.

Un abrazo